Кинематика криволинейного и вращательного движения

Найти линейную скорость точек земной поверхности на широте $\ 60^{\circ}$. Радиус Земли $\ 6400$ км, период вращения $\ 24$ часа.

С какой скоростью движется велосипедист при частоте вращения педалей $\ n_1$, если ведущая зубчатка имеет $\ z_1$ зубьев, ведомая — $\ z_2$ зубьев и радиус колеса $\ R$ (см. рисунок).

Найти ускорение точек колеса автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль движется по дороге без проскальзывания со скоростью $\ v$ и с частотой вращения колеса $\ n$.

Какую скорость относительно земли имеют верхняя и нижняя точки обода велосипедного колеса, если велосипед движется со скоростью $\ v$ и колёса у него не проскальзывают по поверхности дороги.

Катушка, состоящая из цилиндрической части радиуса $\ r$ и двух одинаковых сплошных диска радиуса $\ R$ катится своей цилиндрической частью без проскальзывания по горизонтальному бруску с постоянной скоростью $\ v$ (см. рисунок). Какую мгновенную линейную скорость будут иметь точки $\ 1$ и $\ 2$, находящиеся на ободе одного из дисков? Какие точки катушки имеют мгновенную линейную скорость, равную по модулю скорости оси катушки?

Человек держит один конец доски, а другой её конец лежит на цилиндре. Доска при этом горизонтальна. Затем человек двигает доску вперёд, вследствие чего цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Отсутствует также скольжение доски об цилиндр. Какое расстояние должен пройти человек, чтобы достичь цилиндра, если длина доски равна $\ l$ ?

С какой скоростью и в каком направлении будет катиться ось катушки по горизонтальной плоскости, если за конец нити, намотанной на катушку, тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $\ v$? Внутренний радиус катушки $\ r$, внешний — $\ R$, катушка катится без проскальзывания (см. рисунок).

С какой скоростью и в каком направлении будет катиться ось катушки по горизонтальной плоскости, если за конец нити, намотанной на катушку, тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $\ v$? Внутренний радиус катушки $\ r$, внешний — $\ R$, катушка катится без проскальзывания (см. рисунок).

Конец нити, намотанной на катушку радиусов $\ r$ и $\ R$ и перекинутой через вбитый в стену гвоздь, тянут с постоянной скоростью $\ v$ (см. рисунок). Найти скорость $\ v_{O}$ движения центра катушки момент времени, когда нить составляет угол $\ \alpha$ с вертикалью. Считать нить нерастяжимой и что катушка катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания.