Кинематика криволинейного и вращательного движения

Любое криволинейное движение является движением с ускорением, потому что, в его ходе изменяется направление вектора скорости.

Равномерное движение по окружности — это движение, при котором изменяется направление вектора скорости, но не изменяется его модуль.

Рассмотрим равномерное движение тела по окружности из точки $\ A$ в точку $\ B$ (см. рис. 1).

Пусть $\ \vec{v}_0$ — вектор начальной скорости в точке $\ A$, $\ \vec{v}$ — вектор конечной скорости в точке $\ B$. Перенесём вектор $\ \vec{v}_0$ в точку $\ B$ и построим треугольник векторов скоростей:

Заметим, что угол $\ \angle AOB$ равен углу между векторами $\ \vec{v}_0$ и $\ \vec{v}$. К тому же, треугольник $\ AOB$ и треугольник векторов скоростей подобны по третьему признаку подобия.

По определению вектор ускорения:

При уменьшении $\ \Delta t$ уменьшается $\ \alpha$. При достаточно маленьком $\ \alpha$ вектор $\ \Delta \vec{v}$ становится перпендикулярным вектору $\ \vec{v}$, который находится на касательной к окружности в точке $\ B$, следовательно, вектор $\ \vec{a}$ направлен к центру окружности.

Модуль вектора ускорения найдём из подобия треугольников $\ AOB$ и треугольника векторов скоростей:

При достаточно маленьком $\ \alpha$ сторона $\ AB$ будет совпадать с дугой $\ \overset{\frown}{AB}$, которая является перемещением тела за время $\ \Delta t$:

Отсюда:

Следовательно, ускорение равномерного движения по окружности по модулю равно:

направлено к центру окружности и называется центростремительным, радиальным или нормальным ускорением.

При исследовании движения тела по окружности (вращения) удобно пользоваться угловыми величинами. Пусть $\ \phi$ — угол поворота тела.

Равномерным вращением тела называется такое вращение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на равные углы.

Угловой скоростью равномерного вращения:

называется физическая величина, равная отношению угла поворота тела ко времени, за которое он произошёл. Угловая скорость измеряется в:

где $\ 1$ радиан это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длине радиуса (см. рис. 2).

То есть, линейные и угловые перемещения связаны следующим соотношением:

Заметим, что:

Если разделить (2) на $\ t$ то получим:

то есть, связь между линейной и угловой скоростью:

Подставим (1) в (3) и выразим ускорение через угловую скорость:

Период вращения $\ T$ — время, за которое тело совершает один полный оборот:

Частотой вращения $\ n$ называется физическая величина, равная числу оборотов, совершённых телом, за единицу времени:

Из определения периода вращения и частоты вращения

где $\ N$ — количество оборотов, следует их связь:

Учитывая то, что $\ \phi = 2 \pi N$ получим:

Равноускоренном движение по окружности называется такое движение тела по окружности, при котором за любые равные промежутки времени угловая скорость тела изменялась на одинаковую величину

Угловым ускорением тела называется физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени, к длительности этого промежутка:

Рассмотрим равноускоренное движение тела по окружности из точки $\ A$ в точку $\ B$ (см. рис. 3).

Пусть $\ \vec{v}_0$ — вектор начальной скорости в точке $\ A$, $\ \vec{v}$ — вектор конечной скорости в точке $\ B$. Перенесём вектор $\ \vec{v}_0$ в точку $\ B$ и построим треугольник векторов скоростей:

Заменим вектор $\ \vec{v}$ суммой векторов $\ \vec{v}_{0}^{'}+\Delta \vec{v}_{\tau}$, где $\ \vec{v}_{0}^{'}$ равен по модулю вектору $\ \vec{v}_{0}$. Тогда вектор $\ \Delta \vec{v}$ можно представить в виде суммы векторов $\ \Delta \vec{v}_{n}+\Delta \vec{v}_{\tau}$. Тогда:

Назовём:

нормальным ускорением, а

тангенциальным ускорением. Тогда

Заметим, что при достаточно маленьком $\ \Delta \phi$ модуль вектора $\ \vec{\Delta v}_n$ равен $\ v_0 \Delta \phi$, а модуль вектора $\ \vec{\Delta v}_{\tau}$ равен $\ v-v_0$.

Тогда модуль вектора нормального ускорения:

где $\ \omega_0=\omega$ при достаточно маленьком $\ \Delta \phi$, и вектор направлен по радиусу к центру окружности.

Модуль вектора тангенциального ускорения:

и вектор направлен по касательной к окружности.

Все формулы и соотношения равноускоренного движения по прямой для проекций линейных параметров $\ v_x(t), x(t), S_x(t)$ можно перенести и для равноускоренного движения по окружности для угловых параметров $\ \omega(t), \phi(t), \phi - \phi_0$: