Статика

Статика — раздел механики, изучающий механическое равновесие.

Равновесие — состояние, которое может сохраняться сколь угодно долго при условии отсутствия внешних воздействий.

Механическое равновесие — состояние покоя, равномерного прямолинейного движения или равномерного вращения.

устойчивое — равновесие, при малом отклонении от которого возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (см. рис. 1. $a$);

неустойчивое — равновесие, при малом отклонении от которого возникают силы, удаляющие тело от положения равновесия (см. рис. 1. $b$);

безразличное — равновесие, при малом отклонении от которого не возникает сил, приближающих или удаляющих тело от положения равновесия (см. рис. 1. $c$)

Основная задача статики — выяснение условий, при выполнении которых тело или система тел находится в равновесии.

Рассмотрим тело как материальную точку, к которой приложена сила $\vec{F}$. Поскольку у материальной точки вращение не определено, возможны только два состояния равновесия: покой или равномерное прямолинейное движение. Это означает, что ускорение $\vec{a} = \vec{0}$.

Применим второй закон Ньютона:

Таким образом, для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы:

1-е условие равновесия (правило сил) — тело при отсутствии вращения будет находиться в равновесии, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равняется нулю:

Замечание: действие силы не изменяется, если переместить точку её приложения вдоль линии действия (см. рис. 2).

Пусть тело закреплено на оси $O$, и к нему приложена сила $\vec{F}$ в точке $A$.

Условие равновесия — тело будет в равновесии, если линия действия силы проходит через ось вращения $O$ (см. рис. 3)

Тело с закреплённой осью вращения $\ O$ будет находиться в равновесии, если линия действия равнодействующей силы $\ \vec{F}$ приложенных к телу сил $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$ проходит через ось $\ O$ (см. рис. 4).

Рассмотрим тело с закреплённой осью вращения $\ O$ и приложим к телу силы $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$ (см. рис. 5).

Плечо силы относительно некоторой оси — кратчайшее расстояние от линии действия силы до этой оси.

Момент силы относительно некоторой оси — физическая величина, равная произведению модуля силы на плечо силы относительно этой оси:

Рассмотрим тело с закреплённой осью вращения $\ O$, находящееся в равновесии, и приложим к телу силы $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$ в точках $\ B$ и $\ C$ (см. рис. 6).

Плечи сил $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$ равны:

соответственно.

Перенесём точки приложения сил $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$ в точку $\ A$ — точку пересечения линий действия сил и найдём равнодействующую этих сил $\ \vec{F}$. Поскольку тело находится в равновесии, то линия действия равнодействующей силы $\ \vec{F}$ будет проходить через ось вращения $\ O$. Построим отрезки $\ OB_2$ и $\ OC_2$, параллельные отрезкам $\ O_1B_1$ и $\ O_1C_1$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $\ \Delta OB_2B_3$ и $\ \Delta OC_2C_3$. По построению $\ OB_2 || C_3C_2$, $\ B_2B_3 || OC_2$ и $\ \angle OB_2B_3 = \angle OC_2C_3$, следовательно, эти треугольники подобны и:

Рассмотрим треугольники $\ \Delta AO_1B_1$ и $\ \Delta AOB_2$. По построению все соответствующие стороны параллельны, следовательно, эти треугольники подобны и:

Заметим, что по построению:

Учитывая равенства (3)-(6), получим:

Если момент силы вращает тело в одну сторону, то моменту силы присваивается знак $\ +$, если момент силы вращает тело в противоположную сторону — присваивают знак $\ -$:

Тогда уравнение (7) примет вид:

2-е условие равновесия (правило моментов сил) — тело с закреплённой осью вращения будет находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов действующих на него сил равна нулю:

1-е следствие — если тело находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов действующих на него сил относительно любой оси равна нулю.

2-е следствие — если тело находится в равновесии и на него действуют три силы, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

3-е следствие — для того, чтобы тело находилось в равновесии, достаточно чтобы выполнялись 1-е и 2-е условия равновесия.

Рассмотрим тело, на которое не действуют другие тела, или действие этих тел скомпенсировано. Тогда рассматриваемое тело будет находиться либо в состоянии покоя, либо двигаться равномерно и прямолинейно. Например, лодка покоится на поверхности воды (см. рис. 7).

Если мы приложим телу силу $\ \vec{F}_1$ в точке $\ A$, то тело начнёт поворачиваться по часовой стрелке (см. рис. 7. $a$).

Если мы приложим телу силу $\ \vec{F}_2$ в точке $\ B$, то тело начнёт поворачиваться против часовой стрелки (см. рис. 7. $b$).

Подберём одну из сил $\ \vec{F}_3$, $\ \vec{F}_4$ или $\ \vec{F}_5$ в точках приложения $\ C_1$, $\ C_2$ или $\ C_3$ соответственно, чтобы тело двигалось ускоренно и поступательно. Линии действия этих сил пересекутся в одной точке (см. рис. 7. $c$).

Центр масс тела —точка пересечения линий действия сил, вызывающих только ускоренное поступательное движение тела.

Рассмотрим тело, на которое действует сила тяжести. Разобьём тело на небольшие части, на каждую из которых действует своя сила тяжести $\ m_i \vec{g}_i$ (см. рис. 8. $a$). Заменим все силы тяжести $\ m_i \vec{g}_i$ на равнодействующую силу $\ m \vec{g}$.

Центр тяжести тела — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все элементы тела.

Если мы отпустим тело, то оно под действием силы тяжести $\ m \vec{g}$ начнёт двигаться вниз поступательно и равноускорено. Это означает, что центр масс тела совпадает с центром тяжести тела. Условием этого совпадения является однородность гравитационного поля, в котором находится тело.

Рассмотрим тело, состоящее из совокупности материальных точек массами $\ m_1$, $\ m_2$, $\cdots$, $\ m_n$ закреплённых на невесомом стержне. Координаты материальных точек в системе координат $Ox$ равны $\ x_1$, $\ x_2$, $\cdots$, $\ x_n$ соответственно (см. рис. 9).

Тело находится в гравитационном поле земного притяжения, следовательно, центр масс тела будет совпадать с центром тяжести тела.

Равнодействующая всех сил тяжести $\ m_1 \vec{g}$, $\ m_2 \vec{g}$, $\cdots$, $\ m_n \vec{g}$ будет проходить через центр масс с координатой $\ x_{c.m.}$ в системе координат $\ Ox$. Подопрём в этой точке тело опорой, которая станет осью вращения тела и будет действовать на тело с силой $\ \vec{F}_{p.o}$. В этом случае тело будет находиться в равновесии, поскольку линия действия равнодействующей всех сил тяжести и силы реакции опоры будет проходить через ось вращения. Следовательно, должны выполняться оба условия равновесия:

правило сил:

или в проекциях на ось $\ Oy$:

правило моментов сил относительно точки опоры $\ x_{c.m.}$:

в системе координат $\ Ox$.

Выразим из уравнения (9) силу реакции опоры $\ F_{p.o.}$, подставим в уравнение (10) и найдём центр масс тела:

В случае, если точки $\ x_1$, $\ x_2$, $\cdots$, $\ x_n$ не лежат на одной прямой, силы тяжести $\ m_i\vec{g}$ остались теми же, линии действия сил не изменились, следовательно, моменты этих сил не изменились. Тогда равновесие тела не нарушилось и координата центра масс, совпадающая с координатой центра тяжести, также будет вычисляться по формуле (11).

Поскольку все координатные направления равноправны, то:

Рассмотрим тонкую однородную пластину в форме прямоугольника, находящуюся в однородном гравитационном поле. Ввиду симметричности прямоугольника его центр масс находится на пересечении диагоналей (см. рис. 11)

Рассмотрим тонкую однородную пластину в форме параллелограмма, находящуюся в однородном гравитационном поле. Ввиду симметричности параллелограмма его центр масс находится на пересечении диагоналей (см. рис. 12)

Рассмотрим тонкую однородную пластину в форме произвольного треугольника, находящуюся в однородном гравитационном поле (см. рис. 13).

Разобьём треугольник $\ \Delta ABC$ на небольшие полоски в форме трапеций (на рис. 13 обозначено синим цветом). Заметим, что при увеличении числа разбиений каждая из трапеций по форме будет стремиться к прямоугольнику. Следовательно, центр масс каждой из полосок будет находиться посредине полосы, то есть, на медиане $\ BB_1$ и центр масс всего треугольника будет лежать в какой-то точке медианы $\ BB_1$.

Разобьём теперь треугольник $\ \Delta ABC$ на небольшие полоски в форме трапеций зелёного цвета. Аналогично рассуждая, получим, что центр масс треугольника будет лежать в какой-то точке медианы $\ AA_1$. Следовательно, центр масс треугольника $\ \Delta ABC$ лежит на пересечении медиан в точке $\ O$.

Рассмотрим тонкую пластину произвольной формы, находящуюся в однородном гравитационном поле.

Проделаем маленькое отверстие в произвольной точке $\ O_1$, поместим в это отверстие ось вращения и предоставим тело самому себе. Под действием силы тяжести оно примет какое-то положение равновесия в пространстве. По определению центр тяжести будет лежать в какой-то точке, лежащей на вертикальной прямой, проходящей через точку $\ O_1$ — ось вращения (см. рис. 14. $a$).

Проделаем маленькое отверстие в другой произвольной точке $\ O_2$, поместим в это отверстие ось вращения и аналогичным образом найдём вертикальную прямую, проходящую через точку $\ O_2$, на которой лежит центр тяжести. Следовательно, центр тяжести пластины находится в точке $\ O$ — точке пересечения этих двух прямых (см. рис. 14. $b$).

Поскольку гравитационное поле однородное, то центр масс будет совпадать с центром тяжести.

Центр масс тела (системы тел) движется так, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена вся масса тела (системы тел) и к которой приложены все силы, приложенные к этому телу: