Кинематика равноускоренного движения

Пусть тело движется по некоторой траектории. Рассмотрим участок траектории от точки $\ A_1$ до точки $\ B_1$, содержащий интересующую нас точку $\ C$. За время $\ t_1$ тело переместилось на $\ \vec{S}_1$ (см. рис. 1).

Средняя скорость на этом участке:

Теперь рассмотрим более короткий участок от точки $\ A_2$ до точки $\ B_2$, также проходящий через точку $\ C$, с перемещением $\ \vec{S}_2$ за время $\ t_2$, где $\ t_2 < t_1$:

Продолжая этот процесс, мы всё ближе подходим к точке $\ C$ — с одной стороны последовательностью точек $\ A_1$, $\ A_2$, ..., с другой — $\ B_1$, $\ B_2$, ... . В какой-то момент мы получим малое перемещение $\ \Delta \vec{S}$ за малый промежуток времени $\ \Delta t$, и средняя скорость на этом малом участке:

практически не будет отличаться от предыдущих значений.

Мгновенная скорость в точке траектории — это векторная величина, равная пределу отношения малого перемещения к малому интервалу времени, по мере стремления последнего к нулю:

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Равноускоренным движением называется движение, при котором за любые равные интервалы времени скорость изменяется на одну и ту же векторную величину:

Примеры (см. рис. 2).

На интервале $\ t$ при постоянном изменении скорости $\ \Delta \vec{v}$ можно записать:

где $n = \frac{t}{\Delta t}$. Подставим:

Обозначим:

где $\ \vec{a}$ — ускорение, равное отношению изменения скорости ко времени. Единица измерения ускорения:

Подставляя (3) в (2), получим закон изменения скорости при равноускоренном движении:

Это выражение справедливо и для проекций на любую ось, например, на ось $\ Ox$:

График проекции скорости при равноускоренном движении представлен на рисунке 3.

В первом и втором случаях $\ a_{x1} > 0$, $\ a_{x2} > 0$, причём $\ a_{x1} > a_{x2}$. В третьем случае $\ a_{3} = 0$ и мы получаем частный случай равноускоренного движения - равномерное прямолинейное движение. В четвёртом случае $\ a_{x4} < 0$ мы имеем равнозамедленное движение, причём, с какой-то момент тело останавливается и начинает двигаться равноускоренно в обратном направлении.

Рассмотрим график скорости при равноускоренном движении на интервале времени $\ t$ (см. рис. 4). Возьмём достаточно маленький интервал времени $\ \Delta t$, чтобы считать, что скорость на нём практически не меняется. То есть, можно считать, что на данном интервале времени тело двигалось с постоянной скоростью, например, с мгновенной скоростью, взятой в середине этого временного интервала. Тогда мы можем найти элементарное перемещение на этом элементарном участке как площадь под графиком скорости:

Разобьём весь интервал времени такими элементарными участками и аналогично найдём элементарные перемещения на всех этих элементарных участках. Сложив все эти элементарные перемещения, мы получим перемещение на всём интервале $\ t$. То есть, перемещение на всем интервале времени $\ t$ численно равно площади фигуры под графиком скорости.

Фигура под графиком скорости (см. рис. 5) состоит из прямоугольника со сторонами $\ t$ и $\ v_{0x}$ и прямоугольного треугольника с катетами $\ t$ и $\ v_{x}(t)-v_{x0}=a_{x}t$, учитывая (5). Следовательно:

Это уравнение перемещения для равноускоренного движения справедливо и в векторной форме:

График проекции перемещения, согласно (6), описывается параболой, проходящей через начало координат. Если $\ a_x>0$, то ветки параболы направлены вверх, если $\ a_x<0$ — вниз (см. рис. 6). На рисунке представлена зависимость графиков движения от значений $\ v_{0x}$. В случае, когда $\ a_x$ и $\ v_{0x}$ имеют противоположные знаки, тело замедляет движение, останавливается на мгновение и начинает двигаться в противоположную сторону:

Учитывая определение проекции перемещения:

перепишем (6) в следующем виде:

То есть, мы получили уравнение движения тела, которое позволяет решить основную задачу механики для равноускоренного движения.

График движения тела, согласно (8), описывается параболой. Если $\ a_x>0$, то ветки параболы направлены вверх, если $\ a_x<0$ — вниз (см. рис. 7). На рисунке представлена зависимость графиков движения от значений $\ v_{0x}$. В случае, когда $\ a_x$ и $\ v_{0x}$ имеют противоположные знаки, тело замедляет движение, останавливается на мгновение и начинает двигаться в противоположную сторону.

По определению средняя скорость равна:

Учитывая (7) получим:

Выразим $\ \vec{a}$ из (4), получим:

Следовательно, средняя скорость при равноускоренном движении равна:

Формула (10) справедлива и для проекций:

Из формулы (11) и из графика функции $\ v_x(t)$ следует (см. рис. 8):

То есть, значение средней скорости на некотором временном отрезке $\ t$ совпадает с мгновенной скоростью посредине этого временного отрезка.

Если известно перемещение $\ S_x$, время $\ t$, за которое это перемещение произошло, и ускорение $\ a_x$, то воспользовавшись формулой (5) на временном отрезке от $\ t/2$ до $\ t$ и учитывая (12), можно найти конечную скорость:

и воспользовавшись формулой (5) на всём временном отрезке от $\ 0$ до $\ t$ можно найти начальную скорость:

Выразив $\ \vec{S}$ из (9) и учитывая (11), получим:

Формула (13) справедлива и для проекций:

Выразим $\ t$ из (5), подставим в (14) и получим ещё одно представление для проекции перемещения:

В случае, когда неизвестной величиной является конечная скорость $\ v(t)$, для нахождения перемещения можно пользоваться формулами (6), (7).

В случае, когда неизвестной величиной является ускорение $\ a$, для нахождения перемещения можно пользоваться формулами (13) и (14).

В случае, когда неизвестной величиной является время $\ t$, для нахождения перемещения можно пользоваться формулой (15).

Частным важным случаем равноускоренного движения является движение тела, брошенного под углом к горизонту. Рассмотрим такое движение на примере следующей задачи.

Дано: модуль начальной скорости $\ v_0$, угол $\ \alpha$ между вектором начальной скорости $\ v_0$ и горизонтом.

Найти: максимальная высота полёта $\ h$, максимальная дальность полёта $\ L$, время подъёма на максимальную высоту $\ t_{\textit{в}}$, время всего полёта $\ t_{\textit{п}}$, уравнение траектории $\ y(x)$ (см. рис. 9).

Рассмотрим движение тела отдельно по каждому из направлений — $\ Ox$ и $\ Oy$.

Уравнения изменения мгновенной скорости (5) и движения (8) будут иметь следующий вид:

по оси $\ Ox$:

где $\ x_0=0$, $\ v_{0x}=v_0\cos\alpha$, $\ a_x=g_x=0$,

по оси $\ Oy$:

где $\ y_0=0$ $\ v_{0y}=v_0\sin\alpha$ $\ a_y=g_y=-g$.

Найдём время полёта $\ t_{\textit{п}}$. В конце полёта тело опустится на землю, то есть, $\ y(t_{\textit{п}})=0$. Используя (19), получим:

Физический смысл $\ t_{\textit{п1}}=0$ — в начальный момент времени тело находилось на земле. Следовательно:

Заметим, что максимальное время полёта будет при $\ \alpha=90^{\circ}$.

Найдём время подъёма $\ t_{\textit{в}}$ на максимальную высоту . В максимальной точке подъёма $\ v_y=0$. Используя (18), получим:

Заметим, что $\ t_{\textit{п}}=2t_{\textit{в}}$ и максимальное время подъёма будет при $\ \alpha=90^{\circ}$.

Найдём максимальную высоту полёта $\ h$. Используя (19) и учитывая (21), получим

Заметим, что максимальная высота полёта будет при $\ \alpha=90^{\circ}$.

Найдём максимальную дальность полёта $\ L$. Используя (17), получим:

Заметим, что максимальная дальность полёта будет при $\ \alpha=45^{\circ}$ и дальность полёта при угле $\ \alpha$ и угле $\ 90^{\circ}-\alpha$ будет совпадать.

Найдём уравнение траектории. Используя (17), найдём:

и подставим в (19):

или: