Гидростатика

Давление — физическая величина, равная отношению силы, действующей перпендикулярно некоторой поверхности, к площади этой поверхности:

Рассмотрим определённое количество газа и поместим его в цилиндр, в нижней части которого находится поршень, на верхней части цилиндра закрепим упругую мембрану, не пропускающую газ и с помощью поршня начнём менять объём газа (см. рис. 1).

При уменьшении объёма (см. рис. 1.$\ b$) расстояние между молекулами уменьшается. И хотя количество молекул не изменилось и они продолжают двигаться с прежними скоростями, количество соударений между молекулами и стенками сосуда увеличивается, следовательно, давление газа увеличивается.

При увеличении объёма (см. рис. 1.$\ c$) расстояние между молекулами увеличиваются. И хотя количество молекул не изменилось и они продолжают двигаться с прежними скоростями, количество соударений между молекулами и стенками сосуда уменьшается, следовательно, давление газа уменьшается.

Рассмотрим определённое количество газа и поместим его в цилиндр, нижняя часть которого запаяна, на верхней части цилиндра закрепим упругую мембрану, не пропускающую газ и с помощью свечи начнём нагревать газ (см. рис. 2).

При нагревании газа количество молекул остаётся тем же, расстояния между молекулами не меняются. Но при увеличении температуры увеличиваются скорости, с которыми молекулы двигаются, следовательно, увеличивается количество ударов о стенки сосуда и увеличивается сила ударов и, как следствие, увеличивается давление газа.

Закон Паскаля — давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменений в любую точку жидкости или газа во всех направлениях.

Иллюстрацией действия этого закона является опыт с шаром Паскаля, который представляет из себя пустотелый шар с небольшими одинаковыми отверстиями, к которому присоединена трубка. Вода, налитая в трубку, попадает в шар и через отверстия вытекает в разных направления с одинаковой силой.

Рассмотрим цилиндрический сосуд с площадью основания $\ S$ с жидкостью внутри плотности $\ \rho$ и высотой слоя $\ h$ и найдём давление жидкости на дно сосуда (см. рис. 4).

По определению давления:

где $\ F$ — сила, с которой жидкость давит на дно сосуда, то есть жидкость давит на дно своим весом:

где $\ m$ — масса жидкости:

Тогда:

где $\ p$ — гидростатическое давление.

Высота столба жидкости — отсчитываемое по вертикали расстояние от свободной поверхности до данной точки жидкости.

Гидростатическое давление в любой точке жидкости вычисляется по формуле:

где $\ \rho$ — плотность жидкости, $\ h$ — высота столба жидкости в данной точке.

Рассмотрим сосуд, заполненный жидкостью. Гидростатическое давление зависит от высоты столба — чем выше столб, тем больше давление. Обозначим это гидростатическое давление на рис. 5 синими стрелками

Согласно закону Паскаля давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменений в любую точку жидкости или газа во всех направлениях. Обозначим это производимое на жидкость давление зелёными стрелками.

Давлением в любой точке жидкости будет сумма гидростатического давления в этой точке и давления, производимого на жидкость.

Рассмотрим два сосуда произвольной формы, соединённых в нижней части трубкой. Такие сосуды называются сообщающимися (см. рис. 6).

Пусть в левом сосуде находится жидкость плотности $\ \rho_1$ с высотой столба $\ h_1$, в правом сосуде находится жидкость плотности $\ \rho_2$ с высотой столба $\ h_2$. Пусть жидкости находятся в равновесии, то есть, не перетекают по соединяющей трубке из сосуда в сосуд. Это означает, что гидростатические давления на концах трубки одинаковые:

Учитывая определение гидростатического давления (2), получим:

или:

Выражение (3) называется условием равновесия для разных жидкостей в сообщающихся сосудах.

В случае, когда в сообщающихся сосудах находятся одинаковые жидкости $\ \rho_1 = \rho_2$, условие равновесия примет вид:

Закон сообщающихся сосудов — свободные поверхности однородной жидкости в сообщающихся сосудах располагаются на одной высоте.

$1 \ \textit{мм} \ \textit{рт. ст.}$ — давление, производимое столбом ртути высотой $\ 1 \ \textit{мм}$.

Зависимость атмосферного давления от высоты представлена на рис. 8,

где $\ p_0$ — атмосферное давление на уровне моря. У поверхности Земли эта зависимость практически линейная и вычисляется по формулам:

где $\ \Delta h$ — изменение высоты, $\ \Delta p$ — изменение давления.

Рассмотрим два сообщающихся сосуда с разной площадью поперечного сечения $\ S_1$ и $\ S_2$, в которых находится в равновесии несжимаемая жидкость. Закроем свободные поверхности жидкости поршнями, плотно входящими в сосуды (см. рис. 9)

Надавим на поршни силами $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$ так, чтобы жидкость оставалась в равновесии. Условием равновесия является равенство:

Будем считать, что давления , создаваемые поршнями, много больше гидростатических давлений, создаваемых столбами жидкости, поэтому гидростатическими давлениями мы пренебрежём. Тогда:

Подставим полученные выражения для $\ p_1$ и $\ p_2$ в условие равновесия:

или:

Правило выигрыша в силе — сила, действующая на больший поршень, во столько раз больше силы, действующей на меньший поршень, во сколько раз площадь большего поршня больше площади меньшего поршня.

Теперь рассмотрим ту же систему сообщающихся сосудов с поршнями, на которые действуют силы $\ \vec{F}_1$ и $\ \vec{F}_2$, в следствие чего меньший поршень опустился на высоту $\ h_1$, а больший поршень поднялся на высоту $\ h_2$ (см. рис. 10).

Обозначим объём жидкости, выдавленной из левого сосуда, через $\ V_1$, объём жидкости, зашедшей в правый цилиндр, — через $\ V_2$. Поскольку жидкость несжимаемая, то:

где:

Тогда:

или:

Учитывая равенство (4), получим:

Правило проигрыша в расстоянии — выигрыш в силе даёт проигрыш в расстоянии в столько же раз.

Рассмотрим тело в форме прямоугольного параллелепипеда, полностью погружённое в жидкость плотности $\ \rho$ (см. рис. 11).

Пусть верхняя грань тела находится на расстоянии $\ h_1$ от поверхности жидкости, нижняя грань — на расстоянии $\ h_2$ от поверхности жидкости.

В каждой точке жидкости существует гидростатическое давление, определяемое выражением:

где $\ \rho$ — плотность жидкости, $\ g$ — ускорение свободного падения и $\ h$ — высота столба жидкости.

Следовательно, на каждый участок поверхности тела будет действовать сила давления, определяемая выражением:

где $\ s$ — площадь участка поверхности.

Очевидно, что силы давления, действующие на боковые грани тела, компенсируют друг друга и мы их рассматривать не будем.

Обозначим силу давления жидкости на верхнюю грань поверхности тела через $\ \vec{F}_1$, силу давления на нижнюю грань — через $\ \vec{F}_2$, причём:

где $\ S$ — площадь верхней и нижней граней.

Поскольку $\ h_2 > h_1$, то $\ F_2 > F_1$. Равнодействующая этих двух сил:

называется выталкивающей силой, или силой Архимеда.

Рассмотрим теперь тоже тело, но частично погружённое в жидкость (см. рис. 12).

Очевидно, что силы давления, действующие на боковые грани тела, компенсируют друг друга и мы их рассматривать не будем.

На верхнюю грань дела действует сила атмосферного давления:

где $\ p_{\textit{атм.}}$ — атмосферное давление, $\ S$ — площадь верхней грани.

На нижнюю грань действует сила давления

где $\ \rho$ — плотность жидкости, $\ g$ — ускорение свободного падения и $\ h$— высота столба жидкости на уровне нижней грани.

Тогда выталкивающая сила, или сила Архимеда, равна:

Заметим, что:

является объёмом погружённой части тела. Тогда:

По принципу вытеснения, открытым Архимедом, объём погружённой части тела равен объёму вытесненной жидкости:

Тогда силу Архимеда можно представить следующим образом:

Правая часть этого выражения является весом вытесненной жидкости.

Закон Архимеда — на тело, погружённое в жидкость или газ, действует сила, равная весу жидкости или газа, вытесненной этим телом.

Рассмотрим тело плотности $\ \rho_{_{\textit{Т.}}}$ и объёма $\ V_{_{\textit{Т.}}}$, погружённое в жидкость плотности $\ \rho_{\textit{ж.}}$ (см. рис. 14).

На тело действует сила тяжести

и сила Архимеда

В случае, когда тело тонет, выполняется неравенство $\ F_{_{\textit{Т.}}} > F_A$:

Поскольку тело полностью погружено, то $\ V_{_{\textit{Т.}}} =V_{\textit{погр.}}$. Это означает, что $\ \rho_{_{\textit{Т.}}} > \rho_{\textit{ж.}}$.

В случае, когда тело плавает в толще жидкости, выполняется равенство $\ F_{_{\textit{Т.}}} = F_A$:

Поскольку тело полностью погружено, то $\ V_{_{\textit{Т.}}} = V_{\textit{погр.}}$. Это означает, что $\ \rho_{_{\textit{Т.}}} = \rho_{\textit{ж.}}$.

В случае, когда тело всплывает на поверхность жидкости, выполняется неравенство $\ F_{_{\textit{Т.}}} < F_A$:

Поскольку тело в начале полностью погружено, то $\ V_{_{\textit{Т.}}} = V_{\textit{погр.}}$. Это означает, что $\ \rho_{_{\textit{Т.}}} < \rho_{\textit{ж.}}$.

В момент, когда тело всплывёт на поверхности жидкости, объём его погружённой части уменьшиться, то есть, $\ V_{_{\textit{Т.}}} > V_{\textit{погр.}}$ и будет выполняться равенство $\ F_{_{\textit{Т.}}} = F_A$:

или:

Условие плавания тела на поверхности жидкости — объём погружённой части тела во столько раз меньше объёма самого тела, во сколько раз плотность тела меньше плотности жидкости.