Динамика

Основная задача динамики — найти ускорение тела, если известны условия его движения.

Инертность — это свойство тел по разному изменять свою скорость при действии на него одной и той же силы.

Рассмотрим взаимодействие двух тел и сравним ускорение тел при взаимодействии. Заставим тела взаимодействовать посредством нити в следующей системе (см. рис. 1).

Первое тело толкнём вниз, а второе — вверх. Так как тела связаны нитью, то тела начнут равномерно вращаться по окружности вокруг некоторого центра в точке $\ O$ с угловой скоростью $\ \omega$: первое — по окружности радиуса $\ r_1$, второе - по окружности радиуса $\ r_2$. Тела будут двигаться с нормальными ускорениями:

Поделим первое уравнение на второе:

То есть, отношение ускорений двух тел, взаимодействующих друг с другом посредством нити, не зависит от характера взаимодействия. Мы можем, например, эти два тела заставить столкнуться, но отношение ускорений останется таким же. Это отношение зависит от свойств самих тел.

В нашем случае скорость второго тела меняется больше, чем у первого. Следовательно, инертность первого тела больше инертности второго тела, причём:

Введём физическую величину, которая является количественной мерой инертности, и назовём её массой тела:

где $\ m_1$, $\ m_2$ массы первого и второго тела соответственно, единица измерения - килограмм [кг], $\ \vec{a}_1 \uparrow \downarrow \vec{a}_2$ - ускорения направлены в противоположные стороны.

То есть, ускорения тел при взаимодействии направлены в противоположные стороны, а отношение модулей ускорений равно обратному отношению масс тел — основной экспериментальный закон динамики.

С помощью (1) можно описать способ экспериментального измерения массы:

где за эталон массы тела взят цилиндр платино-иридиевого сплава, хранящийся в Париже, массой один килограмм.

Масса тела — это физическая величина, которая является мерой инертности тела и численно равна отношению модуля ускорения эталона к модулю ускорения тела при его взаимодействии с эталоном.

Первый закон Ньютона — существуют такие системы отсчёта, в которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела, или действие этих тел скомпенсировано.

Такие системы называются инерциальными системами.

Второй закон Ньютона — сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:

единица измерения силы:

то есть, $1$ $\ \textit{ньютон}$ — сила, сообщающая телу массой $\ 1$ $\textit{кг}$ ускорение $1 \ \textit{м}/\textit{с}^2$.

Равнодействующей нескольких сил — называется сила, сообщающая телу такое же ускорение, как эти несколько одновременно действующих сил:

Первый закон Ньютона в полной форме — существуют такие системы отсчёта, в которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю.

Второй закон Ньютона в полной форме — равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение, вызываемое этими силами.

Перепишем формулу (1) в векторном виде, учитывая то, что ускорения направлены в противоположные стороны:

и применив второй закон Ньютона, получим:

или Третий закон Ньютона — тела взаимодействуют с силами, лежащими на одной прямой, направленными в противоположные стороны и равны по модулю.

В природе существует четыре фундаментальных взаимодействия:

$\textbf{Сила упругости}$ возникает при деформации тел.

$\textbf{Деформация}$ — любое изменение формы или размера тела.

Виды деформации: растяжение — сжатие, изгиб, сдвиг и кручение.

$\textbf{Закон Гука}$ — при малых деформациях сила упругости прямо пропорциональна удлинению (сжатию) тела и направлена в сторону, противоположную направлению смещения частиц тела при деформации:

где $\ k$ — жёсткость тела.

Рассмотрим тело массой $\ m$, лежащее на негладкой горизонтальной плоскости. На него действуют следующие сила тяжести $\ m \vec{g}$ и сила упругости $\ \vec{N}$, с которой плоскость действует на тело. Сила упругости всегда направлена перпендикулярно поверхности, с которой тело контактирует, поэтому силу упругости называют силой нормального давления. Подействуем на тело внешней силой $\ F$. Плоскость начинает действовать на тело силой трения $\ \vec{F}_{\text{тр}}$ (см. рис. 2).

Пока тело находится в равновесии, эта сила называется $\ \textbf{силой трения покоя}$ — которая равна по модулю и противоположно направлена по отношению к силе, приложенной к неподвижному телу, параллельно поверхности его контакта с другим телом. Значение силы трения покоя изменяется в зависимости от значения внешней силы на отрезке:

где $\ F_{\text{тр} \max}$ — максимальное значение силы трения, при котором тело находится в покое и вычисляется по формуле (закон Амонтона-Кулона):

где $\ \mu$ — коэффициент трения, зависящий от материала контактируемых поверхностей.

В момент когда тело начинает движение (в связи с увеличением внешней силы) сила трения покоя переходит в силу трения скольжения — которая прямо пропорциональна силе нормального давления и направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела относительно опоры:

График зависимости силы трения $\ F_{\text{тр}}$ от внешней силы $\ F$ представлен на рис. 2.

Закон всемирного тяготения — тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению масс этих тел и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними:

где:

гравитационная постоянная, численно равна силе, с которой притягиваются два точечных тела массой по $\ 1 \ \textit{кг}$, расположенных на расстоянии $\ 1 \ \textit{м}$ друг от друга.

Весом тела называется сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Рассмотрим тело, лежащее на опоре, которая двигается с ускорением $\ \vec{a}$. На тело действует сила тяжести$\ m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\ \vec{F}_{p.o.}$ (см. рис. 3).

Применим второй закон Ньютона к телу:

Применим третий закон Ньютона к телу и опоре:

и подставим выражение для $\ \vec{F}_{p.o.}$ в предыдущее выражение и получим:

или: