Законы сохранения в механике | «Ньютоник» – задачи по физике

Законы сохранения в механике

1. Импульс тела и импульс силы

Рассмотрим некоторое тело, на которое действует постоянная сила:
F⃗=const⃗.(1.1)\vec{F} = \vec{const}. \qquad (1.1)
Применим второй закон Ньютона к телу:
F⃗=ma⃗.\vec{F} = m \vec{a}.
Поскольку выполняется условие (1), то:
a⃗=const⃗,\vec{a} = \vec{const},
движение равноускоренное:
a⃗=v⃗−v⃗0t,\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t},
где  t\ t — время, за которое произошло изменение скорости от  v⃗0\ \vec{v}_0 до  v⃗\ \vec{v}.
Тогда второй закон Ньютона можно переписать в следующем виде:
F⃗t=mv⃗−mv⃗0.(1.2)\vec{F} t = m \vec{v} - m \vec{v}_0. \qquad (1.2)
Обозначим:
импульс тела — физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
p⃗=m⋅v⃗,[p]=кг⋅мс.(1.3)\vec{p} = m \cdot \vec{v}, \qquad [p] = \frac{\textit{кг} \cdot \textit{м}}{\texttt{с}}. \qquad (1.3)
импульс силы — физическая величина, равная произведению вектора силы на время её действия:
F⃗⋅t,[F⋅t]=Н⋅м.(1.4)\vec{F} \cdot t, \qquad [F \cdot t] = \textit{Н} \cdot \textit{м}. \qquad (1.4)
Тогда перепишем второй закон Ньютона в импульсной форме:
F⃗⋅t=p⃗−p⃗0.(1.5)\vec{F} \cdot t = \vec{p} - \vec{p}_0. \qquad (1.5)

Обобщение

В случае, если  F⃗≠const⃗\ \vec{F} \neq \vec{const}, разобьём время  t\ t на небольшие промежутки времени  Δt\ \Delta t, на которых можно считать, что  F⃗=const⃗\ \vec{F} = \vec{const} и тогда
второй закон Ньютона в импульсной форме — изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы:
F⃗⋅Δt=Δp⃗,(1.6)\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}, \qquad (1.6)
где  Δp⃗\ \Delta \vec{p} — изменение импульса тела за промежуток времени  Δt\ \Delta t.

2. Закон сохранения импульса

Замкнутая система — совокупность тел, которые взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с другими телами.
Рассмотрим взаимодействие двух тел в замкнутой системе. До взаимодействия тело с массой  m1\ m_1 двигалось со скоростью  v⃗1\ \vec{v}_1 и догоняло тело с массой  m2\ m_2, которое двигалось со скоростью  v⃗2\ \vec{v}_2 (см. рис. 1. aa). Во время взаимодействия тело с массой  m2\ m_2 действует на тело с массой  m1\ m_1 c силой  F⃗1\ \vec{F}_1, тело с массой  m1\ m_1 действует на тело с массой  m2\ m_2 c силой  F⃗2\ \vec{F}_2 (см. рис. 1. bb). После взаимодействия тело с массой  m1\ m_1 двигается со скоростью  v⃗1′\ \vec{v}_1^{'}, тело с массой  m2\ m_2 двигается со скоростью  v⃗2′\ \vec{v}_2^{'} (см. рис. 1. cc).
Взаимодействие двух тел в замкнутой системе
Рис. 1. Взаимодействие двух тел в замкнутой системе
Рассмотрим такой маленький промежуток времени  Δt\ \Delta t, который намного меньше времени соударения тел, в котором:
F⃗1=const⃗,F⃗2=const⃗\vec{F}_1 = \vec{const}, \qquad \vec{F}_2 = \vec{const}
и второй закон Ньютона в импульсной форме для каждого из тел примет вид:
F⃗1⋅Δt=Δp⃗1,F⃗2⋅Δt=Δp⃗2.\vec{F}_1 \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}_1, \qquad \vec{F}_2 \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}_2.
Сложим эти два уравнения почленно:
(F⃗1+F⃗2)Δt=Δp⃗1+Δp⃗2(\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t = \Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2
и учитывая то, что по третьему закону Ньютона  F⃗1=−F⃗2\ \vec{F}_1 = - \vec{F}_2, получим:
Δp⃗1+Δp⃗2=0.(2.1)\Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2 = 0. \qquad (2.1)
Уравнение (2.1) будет действительно для любого промежутка времени  Δt\ \Delta t. Просуммируем все эти изменения импульсов за всё время взаимодействия:
(p⃗1′−p⃗1)+(p⃗2′−p⃗2)=0,(2.2)(\vec{p}_1^{'} - \vec{p}_1) + (\vec{p}_2^{'} - \vec{p}_2) = 0, \qquad (2.2)
где  p⃗1\ \vec{p}_1 и  p⃗1′\ \vec{p}_1^{'} — начальное и конечное значение импульса тела с массой  m1\ m_1,  p⃗2\ \vec{p}_2 и  p⃗2′\ \vec{p}_2^{'} — начальное и конечное значение импульса тела с массой  m2\ m_2. Перепишем уравнение (2.2) в следующем виде:
p⃗1+p⃗2=p⃗1′+p⃗2′,\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_1^{'} + \vec{p}_2^{'},
то есть, суммарный импульс тел до взаимодействия равен суммарному импульсу тел после взаимодействия.

Обобщение

Закон сохранения импульса — для любого количества тел, образующих замкнутую систему, суммарный импульс тел остается неизменным при любых взаимодействиях между этими телами:
p⃗1+p⃗2+⋯+p⃗n=const⃗(2.3)\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{const} \qquad (2.3)

3. Границы применимости закона сохранения импульса в незамкнутой системе

Действие внешних сил скомпенсировано

Рассмотрим систему тел, состоящую из двух шаров с массами  m1\ m_1 и  m2\ m_2, двигающихся по гладкой горизонтальной плоскости со скоростями  v⃗1\ \vec{v}_1 и  v⃗2\ \vec{v}_2 (см. рис. 2).
Действие внешних сил скомпенсировано
Рис. 2. Действие внешних сил скомпенсировано
На шары действуют силы тяжести  m1g⃗\ m_1 \vec{g} и  m2g⃗\ m_2 \vec{g} соответственно, и силы нормальной реакции опоры  N⃗1\ \vec{N}_1 и  N⃗1\ \vec{N}_1. Система незамкнута, но силы тяжести и силы нормальной реакции опоры попарно скомпенсированы и в этом случае можно пользоваться законом сохранения импульса.

Внешние силы гораздо меньше внутренних

Рассмотрим систему тел, состоящих из двух пушечных ядер, выпущенных из пушек, летящих навстречу друг другу (см. рис. 3).
Внешние силы гораздо меньше внутренних
Рис. 3. Внешние силы гораздо меньше внутренних
В момент соударения помимо сил  F⃗1\ \vec{F}_1 и  F⃗2\ \vec{F}_2, с которыми ядра действуют друг на друга, на ядра действуют внешние силы тяжести  m1g⃗\ m_1 \vec{g} и  m2g⃗\ m_2 \vec{g}. Система незамкнута, но внешние силы гораздо меньше внутренних и в этом случае можно пользоваться законом сохранения импульса. Такая ситуация характерна для быстро протекающих процессов (взрывы, выстрелы, соударения).

Проекции внешних сил на некоторое направление равно нулю

Рассмотрим систему двух тел, состоящую из пушки, жёстко закреплённой на железнодорожной платформе, находящейся на рельсах, и ядра, вылетающего из пушки (см. рис. 4, вид сверху).
Проекции внешних сил на некоторое направление равно нулю
Рис. 4. Проекции внешних сил на некоторое направление равно нулю
Внутренними силами системы являются сила  F⃗′\ \vec{F}^{'}, с которой пушка действует на ядро и сила  F⃗\ \vec{F}, с которой ядро действует на пушку с платформой, причём по третьему закону Ньютона  F⃗=−F⃗′\ \vec{F} = - \vec{F}^{'}.
Внешними силами системы являются:  Mg⃗\ M \vec{g} — сила тяжести платформы с пушкой и  N⃗\ \vec{N} — сила нормальной реакции рельс, которые компенсируют друг друга,  F⃗p.\ \vec{F}_{p.} — сила, с которой рельсы действуют на реборды (гребни) колёс,  mg⃗\ m \vec{g} — сила тяжести ядра и  F⃗c.\ \vec{F}_{c.} — сила сопротивления воздуха, которые гораздо меньше силы  F⃗′\ \vec{F}^{'}. Поскольку сила  F⃗p.\ \vec{F}_{p.} не скомпенсирована никакой другой силой, то система не замкнута и закон сохранения импульса в векторной форме не выполняется:
p⃗п.+ п.+p⃗я.≠const⃗,\vec{p}_{\text{п.+ п.}} + \vec{p}_{\text{я.}} \neq \vec{const},
где  p⃗п.+ п.\ \vec{p}_{\text{п.+ п.}} — импульс платформы с пушкой,  p⃗я.\ \vec{p}_{\text{я.}} — импульс ядра. Но, поскольку проекция внешней силы  F⃗p.\ \vec{F}_{p.} на ось  Ox\ Ox равна нулю, то закон сохранения импульса выполняется в проекциях на ось  Ox\ Ox:
p(п.+ п.)x+pя. x=const.p_{(\text{п.+ п.})x} + p_{\text{я. x}} = const.

4. Реактивное движение

Рассмотрим девочку с массой  m1\ m_1, стоящую на скейте и держащую в руках мяч с массой  m2\ m_2. Скейт стоит неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности. Девочка бросает мяч горизонтально вперёд по ходу возможного движения скейта. Девочка действует на мяч с некоторой силой, которая придает мячу некоторую скорость  v⃗1\ \vec{v}_1. По третьему закону Ньютона мяч действует на девочку с такой же по модулю и противоположно направленной силой, которая придаёт девочке на скейте некоторую скорость, обозначим её через  v⃗2\ \vec{v}_2 и найдём её(см. рис. 5).
Принцип реактивного движения
Рис. 5. Принцип реактивного движения
Система, состоящая из девочки на скейте и мяча, является замкнутой, так как внешние силы — силы тяжести и силы нормальной реакции скомпенсированы. Применим закон сохранения импульса к этой системе:
(m1+m2)⋅0⃗=m1⋅v⃗1+m2⋅v⃗2,(m_1 + m_2) \cdot \vec{0} = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2,
или в проекциях на ось  Ox\ Ox:
0=−m1v1+m2v2,0 = - m_1 v_1 + m_2 v_2,
отсюда найдём:
v2=m1m2 v1.v_2 = \frac{m_1}{m_2} \ v_1.
Реактивное движение — движение, в следствие отделения от системы её частей с определённой скоростью.

5. Работа в механике. Кинетическая энергия

Рассмотрим тело, на которое действуют несколько постоянных силы  F⃗1\ \vec{F}_1,  F⃗2\ \vec{F}_2 и  F⃗3\ \vec{F}_3, под действием которых тело совершило перемещение  S⃗\ \vec{S} (см. рис. 6).
Работа в механике
Рис. 6. Работа в механике
Применим второй закон Ньютона к телу:
F⃗1+F⃗2+F⃗3=ma⃗,\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = m \vec{a},
или в проекциях на ось  Ox\ Ox:
F1cos⁡α1+F2cos⁡α2+F3cos⁡α3=max.(5.1)F_1 \cos \alpha_1 + F_2 \cos \alpha_2 + F_3 \cos \alpha_3 = m a_x. \quad (5.1)
Поскольку силы постоянны, то  ax=const\ a_x = const, то есть, движение равноускоренное:
ax=vx2−v0x22Sxa_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2 S_x}
и уравнение (5.1) примет вид:
F1Scos⁡α1+F2Scos⁡α2+F3Scos⁡α3=F_1 S \cos \alpha_1 + F_2 S \cos \alpha_2 + F_3 S \cos \alpha_3 = =mv22−mv022.(5.2)= \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}. \qquad (5.2)
Обозначим:
работа постоянной силы — физическая величина, равная произведению модуля силы, модуля перемещения и косинуса угла между направлением силы и направлением перемещения:
A=F⋅S⋅cos⁡α,(5.3)A = F \cdot S \cdot \cos \alpha, \qquad (5.3) [A]=Н⋅м=Дж (джоуль).[A] = \textit{Н} \cdot \textit{м} = \textit{Дж (джоуль)}.
кинетическая энергия тела — физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости:
Ek=m⋅v22,(5.4)E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}, \qquad (5.4) [Ek]=кг⋅м2c2=Н⋅м=Дж.[E_k] = \frac{\textit{кг} \cdot \textit{м}^2}{c^2} = \textit{Н} \cdot \textit{м} = \textit{Дж}.
Тогда выражение (5.2) примет вид:
A1+A2+A3=Ek−E0k=ΔEk.A_1 + A_2 + A_3 = E_k - E_{0k} = \Delta E_k.

Обобщение

теорема о кинетической энергии — суммарная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии:
∑i=1NAi=ΔEk.(5.5)\sum\limits_{i=1}^{N} A_i = \Delta E_k. \qquad (5.5)

Зависимость работы и кинетической энергии от угла  α\ \alpha

Если угол  α\ \alpha — острый, то  cos⁡α>0\ \cos \alpha > 0. Тогда работа силы  F⃗\ \vec{F} будет положительной  A>0\ A > 0. Изменение кинетической энергии также будет положительным  ΔEk>0\ \Delta E_k > 0, то есть, кинетическая энергия увеличивается  Ek↑\ E_k \uparrow.
Если угол  α\ \alpha — тупой, то  cos⁡α<0\ \cos \alpha < 0. Тогда работа силы  F⃗\ \vec{F} будет отрицательной  A>0\ A > 0. Изменение кинетической энергии также будет отрицательным  ΔEk<0\ \Delta E_k < 0, то есть, кинетическая энергия уменьшается  Ek↓\ E_k \downarrow.
Если угол  α\ \alpha — прямой, то  cos⁡α=0\ \cos \alpha = 0. Тогда работа силы  F⃗\ \vec{F} будет равна нулю  A=0\ A = 0. Изменение кинетической энергии также будет равным нулю  ΔEk=0\ \Delta E_k = 0, то есть, кинетическая энергия не изменяется  Ek=const\ E_k = const.

Обобщение на случай переменной силы

Пусть на тело действует переменная сила  F⃗≠const\ \vec{F} \neq const, под действием которой тело переместилось из точки  B\ B в точку  C\ C по траектории  S\ S (см. рис. 7).
Переменная сила
Рис. 7. Переменная сила
Разобьём траекторию движения на небольшие перемещения  Δs⃗1…,Δs⃗i…,Δs⃗j…,Δs⃗n\ \Delta \vec{s}_1 \dots, \Delta \vec{s}_i \dots, \Delta \vec{s}_j \dots, \Delta \vec{s}_n за небольшие промежутки времени  Δt\ \Delta t. На каждом таком небольшом перемещении обозначим значение силы через  F⃗1\ \vec{F}_1 ,…, ,\dots,  F⃗i\ \vec{F}_i ,…, ,\dots,  F⃗j\ \vec{F}_j ,…, ,\dots,  F⃗n\ \vec{F}_n, угол между направлением силы и направлением перемещения — через  α1\ \alpha_1 ,…, ,\dots,  αi\ \alpha_i ,…, ,\dots,  αj\ \alpha_j ,…, ,\dots,  αn\ \alpha_n.
Заметим, что
∑i=1nΔs⃗i=S⃗\sum\limits_{i=1}^{n} \Delta \vec{s}_i = \vec{S}
является вектором перемещения из точки  B\ B в точку  C\ C, а
∑i=1n∣Δsi∣=S\sum\limits_{i=1}^{n} |\Delta s_i| = S
является путём из точки  B\ B в точку  C\ C.
Обозначим через  Fsi\ F_{s_i} проекцию соответствующей силы  F⃗i\ \vec{F}_i на направление соответствующего перемещения  Δsi⃗\ \vec{\Delta s_i}:
Fsi=Fi⋅cos⁡αi.F_{s_i} = F_i \cdot \cos \alpha_i.
На каждом небольшом перемещении работа будет вычисляться по формуле:
Ai=Fsi⋅Δsi.A_i = F_{s_i} \cdot \Delta s_i.
Тогда работа на всём участке траектории равна:
A=∑i=1nAi=∑i=1nFsi⋅Δsi.(5.6)A = \sum\limits_{i=1}^{n} A_i = \sum\limits_{i=1}^{n} F_{s_i} \cdot \Delta s_i. \qquad (5.6)
Построим график зависимости  FS\ F_S от пути  S\ S (см. рис. 8)
График проекции переменной силы
Рис. 8. График проекции переменной силы
Тогда, согласно формуле (5.6), работа переменной силы численно равна площади под графиком зависимости проекции силы на направление скорости тела от пройденного пути.

6. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли

Рассмотрим случай, когда тело под действием силы тяжести перемещается на небольшое расстояние вертикально вниз возле поверхности Земли (см. рис. 9. aa).
Работа силы тяжести
Рис. 9. Работа силы тяжести
В этом случае можно считать, что  g⃗=const⃗\ \vec{g} = \vec{const}, следовательно,  F⃗тяж=const⃗\ \vec{F}_{\text{тяж}} = \vec{const} и по определению работы постоянной силы :
A=F⋅S⋅cos⁡α=A = F \cdot S \cdot \cos \alpha = =mg⋅(h1−h2)⋅cos⁡0=mg(h1−h2).= m g \cdot (h_1 - h_2) \cdot \cos 0 = mg (h_1 - h_2).
Рассмотрим случай, когда тело движется по гладкой наклонной поверхности под действием силы тяжести (см. рис. 9. bb). В этом случае:
A=F⋅S⋅cos⁡α=A = F \cdot S \cdot \cos \alpha = =mg⋅S⋅cos⁡α=mg(h1−h2).= m g \cdot S \cdot \cos \alpha = mg (h_1 - h_2).
Рассмотрим теперь более общий случай, когда тело под действием силы тяжести движется по некоторой криволинейной траектории (см. рис. 9. cc). Разобьём всю траекторию на небольшие перемещения  Δs⃗i\ \Delta \vec{s}_i такие, что  Δs⃗i=const⃗\ \Delta \vec{s}_i = \vec{const}. Тогда:
A=∑i=1nAi=∑i=1nmgΔhi=A = \sum\limits_{i=1}^{n} A_i = \sum\limits_{i=1}^{n} mg \Delta h_i = =mg(h1−h2).= mg (h_1 - h_2).
То есть, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется его начальной и конечной высотой:
A=mg(h1−h2).(6.1)A = mg (h_1 -h_2). \qquad (6.1)
Рассмотрим движение тела под действием силы тяжести по замкнутой траектории (см. рис. 10).
Работа силы тяжести на замкнутой траектории
Рис. 10. Работа силы тяжести на замкнутой траектории
Разобьём всё движение на два участка  ABC\ ABC и  CDA\ CDA. Тогда:
A=AABC+ACDA=A = A_{ABC} + A_{CDA} = =mg(h1−h2)+mg(h2−h1)=0.= mg (h_1 -h_2) + mg (h_2 - h_1) = 0.
То есть, работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.
Потенциальные (консервативные силы) — силы, работа которых на замкнутой траектории равна нулю.
Обозначим:
потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью земли:
Ep=mgh,(6.2)E_p = mgh, \qquad (6.2) [Ep]=кг⋅мc2⋅м=Н⋅м=Дж.[E_p] = \textit{кг} \cdot \frac{\textit{м}}{c^2} \cdot \textit{м} = \textit{Н} \cdot \textit{м} = \textit{Дж}.
Тогда уравнение (6.1) перепишем следующим образом:
A=mg(h1−h2)=Ep1−Ep2=A = mg (h_1 - h_2) = E_{p1} - E_{p2} = =−(Ep2−Ep1)=−ΔEp.= - (E_{p2} - E_{p1}) = - \Delta E_p.
Работа силы тяжести равна взятому со знаком минус изменению потенциальной энергии тела:
A=−ΔEp.(6.3)A = - \Delta E_p. \qquad (6.3)
Замети, что потенциальная энергия тела зависит от системы координат, но изменение потенциальной энергии тела не зависит от системы координат.
Рассмотрим теперь случай, когда тело под действием силы тяжести перемещается на большое расстояние, соизмеримое с расстоянием до центра Земли (см. рис. 11).
Работа силы тяжести
Рис. 11. Работа силы тяжести
В этом случае  g⃗≠const⃗\ \vec{g} \neq \vec{const}, следовательно,  F⃗тяж≠const⃗\ \vec{F}_{\text{тяж}} \neq \vec{const} и по закону всемирного тяготения:
Fтяж=GmMз(h+Rз)2,F_{\text{тяж}} = G \frac{m M_{\text{з}}}{(h + R_{\text{з}})^2},
где  G\ G — гравитационная постоянная,  m\ m — масса тела, поднятого над Землёй,  Mз\ M_{\text{з}} — масса Земли,  h\ h — высота, на которую поднято тело и  Rз\ R_{\text{з}} — масса Земли. В этом случае работу по перемещению тела можно вычислить по формуле (5.6), где:
FS=−GmMз(h+Rз)2.F_S = - G \frac{m M_{\text{з}}}{(h + R_{\text{з}})^2}.
представлена на рис. 12
График проекции силы тяжести
Рис. 12. График проекции силы тяжести
Если  h2→+∞\ h_2 \rightarrow + \infty, то работа по поднятию тела с поверхности Земли до бесконечности равна:
A∞=−GmMзRз.(6.4)A_{\infty} = - G \frac{m M_{\text{з}}}{R_{\text{з}}}. \qquad (6.4)
Поскольку сила тяжести является потенциальной силой, то:
A∞=−(Ep ∞−Ep1).A_{\infty} = - ( E_{p \ \infty} - E_{p 1} ).
Положим  Ep ∞=0\ E_{p \ \infty} = 0, тогда потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна:
A∞=Ep1=−GmMзRз.A_{\infty} = E_{p 1} = - G \frac{m M_{\text{з}}}{R_{\text{з}}}.
В случае, когда тело поднято на высоту  h\ h от поверхности Земли, потенциальная энергия тела равна:
Ep h=−GmMзRз+h.(6.5)E_{p \ h} = - G \frac{m M_{\text{з}}}{R_{\text{з}} + h}. \qquad (6.5)
В общем случае, для двух любых тел массами  m1\ m_1 и  m2\ m_2, находящихся на расстоянии  R\ R друг от друга, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия будет вычисляться по формуле:
Ep=−Gm1m2R.(6.6)E_{p} = - G \frac{m_1 m_2}{R}. \qquad (6.6)

7. Вторая космическая скорость

Рассмотрим тело, находящееся на поверхности Земли, и найдём минимальную начальную скорость  v⃗0\ \vec{v}_0, направленную вертикально вверх, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно долетело до бесконечности (см. рис. 13).
Вторая космическая скорость
Рис. 13. Вторая космическая скорость
По теореме о кинетической энергии:
A=ΔEk,A = \Delta E_k,
где  A\ A — работа силы тяжести и  ΔEk\ \Delta E_k — изменение кинетической энергии тела.
Работа по поднятию тела с поверхности Земли на бесконечность определяется формулой (6.4), следовательно:
−GmMзRз=mv22−mv022.-G \frac{m M_{\text{з}}}{R_{\text{з}}} = \frac{m v^2}{2} - \frac{m v_{0}^{2}}{2}.
Отсюда найдём:
v0=2GMзRз+v2.v_0 = \sqrt{2 G \frac{M_{\text{з}}}{R_{\text{з}}} + v^2}.
Для того, чтобы начальная скорость была минимальной  v0=v0min⁡\ v_0 = v_{0 \min}, необходимо, чтобы скорость на бесконечности была равна нулю  v=0\ v = 0.
Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно преодолело силу притяжения планеты и удалилось на бесконечность, называют второй космической скоростью, обозначают  v2\ v_2 и она равна:
v0min⁡=v2=2GMзRз.v_{0 \min} = v_2 = \sqrt{2 G \frac{M_{\text{з}}}{R_{\text{з}}}}.
Шуточный рисунок ракеты, взлетающей в небо с Земли

8. Работа силы упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела}

Рассмотрим систему, состоящую из пружины, один конец которой закреплён, а ко второму прикреплено тело и найдём работу силы упругости пружины по перемещению этого тела при условии  F⃗упр∥S⃗\ \vec{F}_{\text{упр}} \parallel \vec{S} (см. рис. 14).
Работа силы упругости
Рис. 14. Работа силы упругости
На рис. a)a) отображена пружина в недеформированном состоянии. На рис. b)b) пружина находится в сжатом состоянии, сила упругости равна  F⃗1\ \vec{F}_1, и величина сжатия равна  x1\ x_1. На рис. c)c) пружина разжимается, сила упругости равна  F⃗2\ \vec{F}_2, и величина сжатия равна  x2\ x_2.
По закону Гука сила упругости, возникающая в теле прим малых деформациях, находится по следующей формуле:
Fупрx=−kx,(8.1)F_{\text{упр}x} = - k x, \qquad (8.1)
где  Fупрx\ F_{\text{упр}x} — проекция силы упругости на ось  Ox\ Ox,  k\ k — коэффициент упругости и  x\ x — сжатие пружины по оси  Ox\ Ox. Следовательно,  F1≠F2\ F_1 \neq F_2 и работу силы упругости пружины по перемещению тела из точки  x1\ x_1 в точку  x2\ x_2 будем искать как площадь фигуры под графиком зависимости проекции силы  FS\ F_S на направление скорости тела от пройденного пути по оси  Ox\ Ox.
Поскольку  FS=−Fx\ F_S = - F_x, то, с учётом (8.1),  FS=kx\ F_S = kx. График функции  FS\ F_S представлен на рис. 15.
График проекции силы упругости
Рис. 15. График проекции силы упругости
Следовательно:
A=kx1+kx22⋅(x1−x2)=A = \frac{k x_1 + k x_2}{2} \cdot (x_1 - x_2) = =kx122−kx222,(8.2)= \frac{k x_1^2}{2} - \frac{k x_2^2}{2}, \qquad (8.2)
где  k\ k — жёсткость пружины,  x1\ x_1 и  x2\ x_2 — начальная и конечная деформация.
Рассмотрим более общий случай, когда  F⃗упр∦S⃗\ \vec{F}_{\text{упр}} \nparallel \vec{S}. Пусть пружина одним концом закреплена в точке  O\ O, а ко второму концу прикреплено тело, которое под действием силы упругости перемещается из точки  1\ 1 в точку  2\ 2 по некоторой траектории (см. рис. 16).
Работа силы упругости в общем случае
Рис. 16. Работа силы упругости в общем случае
В этом случае мы можем разбить траекторию движения тела на маленькие участки, на которых тело двигается или по окружностям с центром в точке  O\ O, или по соответствующим радиусам по направлению к точке  O\ O — центрам соответствующих окружностей. Работа силы упругости по перемещению тела по окружности равна нулю, так как угол между вектором силы упругости вектором перемещения равен  90∘\ 90^{\circ }. Работа силы упругости по перемещению тела по радиусу вычисляется по формуле (8.2).
То есть, работа силы упругости по перемещению тела от формы траектории тела, а определяется только его начальным и конечным положением. Если начальное и конечное положение совпадает, то работа по замкнутой траектории будет равна нулю. Следовательно, сила упругости является потенциальной\textit{потенциальной}  (консервативной)\textit{ (консервативной)}.
Обозначим потенциальной энергией упруго деформированного тела величину:
Ep=kx22.(8.3)E_p = \frac{k x^2}{2}. \qquad (8.3)
Тогда уравнение (8.2) примет вид:
A=−(Ep2−Ep1)=−ΔEp.(8.4)A = - ( E_{p2} - E_{p1} ) = - \Delta E_p. \qquad (8.4)
Работа силы упругости равняется взятому со знаком минус изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела.
Заметим, что в отличии от потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью Земли, где нулевую потенциальную энергию  Ep0\ E_{p0} можно выбрать на любой высоте, в случае потенциальной энергии упруго деформированного тела за ноль потенциальной энергии  Ep0\ E_{p0} принимается потенциальная энергия недеформированного тела.

9. Закон сохранения полной механической энергии

Рассмотрим замкнутую систему тел, в которой действуют только потенциальные силы — сила тяжести или сила упругости.
По теореме о кинетической энергии:
A=Ek2−Ek1,(9.1)A = E_{k2} - E_{k1}, \qquad (9.1)
где кинетическая энергия  Ek\ E_{k} определяется формулой (5.4).
С другой стороны, по определению потенциальной силы:
A=−(Ep2−Ep1),(9.2)A = - ( E_{p2} - E_{p1} ), \qquad (9.2)
где потенциальная энергия  Ep\ E_{p} определяется формулой (6.2) в случае силы тяжести и (8.3) в случае силы упругости.
Приравняем правые части уравнений (9.1) и (9.2) и получим:
Ep1+Ek1=Ep2+Ek2.(9.3)E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2}. \qquad (9.3)
Обозначим полной механической энергией величину:
E=Ep+Ek.9.4E = E_p + E_k. \qquad {9.4}
Тогда уравнение (9.4) можно сформулировать следующим образом:
закон сохранения полной механической энергии — полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только потенциальными силами, остается неизменной при любых движениях тел системы:
E=const.(9.5)E = const. \qquad (9.5)

10. Работа силы трения

Рассмотрим тело, движущееся по некоторой траектории из точки 11 в точку 22, на которое в каждой точке траектории действует сила трения скольжения (см. рис. 17)
Работа силы трения в общем случае
Рис. 17. Работа силы трения в общем случае
Заметим, что сила трения постоянна по модулю, поскольку она вычисляется по формуле  Fтр=μN\ F_{\text{тр}} = \mu N и направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела.
Разобьём траекторию на небольшие элементарные траектории  Δs⃗i\ \Delta \vec{s}_i, на которых сила трения равна  F⃗i\ \vec{F}_i. На каждом участке  Δs⃗i\ \Delta \vec{s}_i работа равна:
Ai=Fтр⋅Δsi⋅cos 180∘=−FтрΔsi.A_i = F_{\text{тр}} \cdot \Delta s_i \cdot cos \ 180^{\circ } = - F_{\text{тр}} \Delta s_i.
Работа силы трения на всей траектории из точки 11 в точку 22 равна:
A=∑i=1nAi=−Fтр⋅S,A = \sum\limits_{i=1}^{n} A_i = - F_{\text{тр}} \cdot S,
где  S\ S — пройденный путь.
Работа силы трения является отрицательной величиной, зависящей от формы траектории. Это означает, что сила трения не является потенциальной силой, а является диссипативной силой.
Рассмотрим систему, в которой помимо потенциальных сил, действует сила трения и применим к системе закон о кинетической энергии:
Ap+Aтр=ΔEk,(10.1)A_p + A_{\text{тр}} = \Delta E_k, \qquad (10.1)
где  Ap\ A_p — совокупная работа всех потенциальных сил.
Поскольку работу потенциальных сил можно представить в виде (6.3), то формула (10.1) примет вид:
Aтр=Ek2+Ep2−(Ek1+Ep1)=A_{\text{тр}} = E_{k2} + E_{p2} - (E_{k1} + E_{p1}) = =E2−E1=ΔE,= E_2 - E_1 = \Delta E,
где  E1\ E_1 и  E2\ E_2 — полные механические энергии.
То есть, если в системе действует диссипативная сила, то  ΔE<0\ \Delta E < 0 и полная механическая энергия убывает.
Закон сохранения и превращения энергии — в любых процессах энергия не возникает ни из чего и не исчезает бесследно, а лишь преобразуется из одного вида в другой.

11. КПД и мощность в механике

Коэффициент полезного действия механизма — физическая величина, равная отношению полезной работы механизма к затраченной работе (или энергии), необходимой для приведения механизма в действие:
η=AполAзатр.(11.1)\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}. \qquad (11.1)
Мощность силы — физическая величина, равная отношению работы этой силы за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка:
N=ΔAΔt,[N]=Джс=Вт (ватт).(11.2)N = \frac{\Delta A}{\Delta t}, \quad [N] = \frac{\text{Дж}}{\text{с}} = \text{Вт (ватт)}. \quad (11.2)
Мощность механизма — физическая величина, равная отношению работы, выполненной механизмом к времени её выполнения:
N=At.(11.3)N = \frac{A}{t}. \qquad (11.3)
Рассмотрим тело, на которое действует переменная сила  F⃗\ \vec{F}, вызывающая перемещение тела  S⃗\ \vec{S}. Рассмотрим небольшой промежуток времени  Δt\ \Delta t, за который тело переместиться на  Δs⃗\ \Delta \vec{s} и на котором будет действовать постоянная сила  F⃗\ \vec{F}. Тогда по определению работы постоянной силы (5.3) получим:
ΔA=F⋅Δs⋅cos⁡α,(11.4)\Delta A = F \cdot \Delta s \cdot \cos \alpha, \qquad (11.4)
где  α\ \alpha — угол между векторами  F⃗\ \vec{F} и  Δs⃗\ \Delta \vec{s}. Разделим обе части уравнения (11.4) на  Δt\ \Delta t:
ΔAΔt=F⋅ΔsΔt⋅cos⁡α.\frac{\Delta A}{\Delta t} = F \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \cos \alpha.
Мы получили связь между мгновенной мощностью, мгновенной силой и мгновенной скоростью:
N=Fvcos⁡α,N = F v \cos \alpha,
где  v\ v — модуль скорости и  α\ \alpha — угол между векторами  F⃗\ \vec{F} и  v⃗\ \vec{v}.

12. Соударения

Соударением называется кратковременное взаимодействие тел, при котором силы взаимодействия настолько велики, что другими силами можно пренебречь.
Так как при соударении внутренние силы системы (силы соударения) намного больше внешних сил системы, то выполняется закон сохранения импульса.
Абсолютно неупругое соударение — соударение, при котором тела взаимодействуют только силой трения (см. рис. 18).
Неупругое соударение
Рис. 18. Неупругое соударение
По закону сохранения импульса:
m1v⃗1+m2v⃗2=(m1+m2)v⃗′,m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{v}^{'},
отсюда получим:
v⃗′=m1v⃗1+m2v⃗2m1+m2.\vec{v}^{'} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}.
Абсолютно упругое соударение — соударение, при котором тела взаимодействуют только силами упругости (см. рис. 19).
Упругое соударение
Рис. 19. Упругое соударение
Центральное соударение — соударение, при котором векторы начальных и конечных скоростей лежат на одной прямой.
Рассмотрим систему двух тел, которые взаимодействуют абсолютно упругим центральным взаимодействием (см. рис. 19).
Применим к системе закон сохранения импульса и закон сохранения полной механической энергии:
m1v⃗1+m2v⃗2=m1v⃗1′+m2v⃗2′,m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1^{'} + m_2 \vec{v}_2^{'}, m1v122+m2v222=m1v1′22+m2v2′22.\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1^{'2}}{2} + \frac{m_2 v_2^{'2}}{2}.
Преобразуем эти уравнения к следующему виду:
m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2),m_1 (v_1 - v_1^{'}) = m_2 (v_2^{'} - v_2), m1(v12−v1′2)=m2(v2′2−v22).m_1 (v_1^2 - v_1^{'2}) = m_2 (v_2^{'2} - v_2^2).
Поделим второе из этих уравнений на первое и получим:
v1−v2=−(v1′−v2′)v_1 - v_2 = - (v_1^{'} - v_2^{'})
Теорема об относительных скоростях — при абсолютно упругом центральном соударении относительные скорости тел до соударения и относительные скорости тел после соударения равны по модулю и противоположны по направлению.
В случае, когда  m1=m2=m\ m_1 = m_2 = m, получим:
по закону сохранения импульса:
mv1+mv2=mv1′+mv2′,m v_1 + m v_2 = m v_1^{'} + m v_2^{'},
по теореме об относительных скоростях:
v1−v2=−(v1′−v2′).v_1 - v_2 = - ( v_1^{'} - v_2^{'}).
Решая эту систему уравнений относительно  v1′\ v_1^{'} и  v2′\ v_2^{'}, получим:
v1′=v2,v2′=v1.v_1^{'} = v_2, \qquad v_2^{'} = v_1.
Политика конфиденциальностиУсловия использования
support@newtonik.ru
©2025 «Ньютоник». Все права защищены.